Bu ayrılmaz simvol nədir: [riyaziyyat] \ məlhəm [/ math]? Bunun normal bir inteqral arasındakı fərq nədir?


cavab 1:

Uhhh Orta məktəbdə oxuduğumu xatırlayıram. İcma Kollecində bir riyaziyyat müəllimi də daxil olmaqla - çox sayda insandan soruşdum və heç kim mənə uzaqdan faydalı izahat verə bilmədi. (AP fizika imtahanında sınandığı üçün bu bir ağrı idi və heç kim bunun nə demək olduğunu izah edə bilmədi.)

Dairə, bu kontur ayrılmaz deməkdir (və ya bu gün kiminlə danışdığınızdan asılı olaraq bir yol ayrılmaz və ya bir xətt ayrılmaz). Bu problemlər əvvəlcə vektor hesablamasında və ya çoxölçülü hesablamada meydana çıxır. (Kollecdə Kals III adlanır.)

Gördüyünüz adi bir inteqralda xy müstəviyə və x funksiyasına sahibsiniz. Tipik olaraq, x ilə əlaqəli bir funksiyanı birləşdirirsiniz. Yəni inteqrasiya etdiyiniz sahə bir aralıqdır

[a,b]R[a,b] \in \R

. Və şəklində müəyyən inteqrallar yazmağı öyrəndiniz

abf(x)dx\int_a^b f(x) dx

.

Buna görə ayrılmayan simvol inteqrasiya etdiyiniz sahə haqqında məlumatı ehtiva edir. Çox şeyi ümumiləşdirmək üçün hər hansı bir D domenini yaza və yaza bilərdik.

Df(s)ds\int_D f(s) ds

. Bunun nə olduğunu bilmirik

DD

hələ əlaqələndirir, amma bu bilinməyən bir domendə bir inteqrasiya yazmağın çox ümumi bir yoludur.

Çox dəyişkən hesablamada birdən çox dəyişənin funksiyalarını nəzərdən keçirə bilərik, məsələn

f(x,y)f(x,y)

. Beləliklə, bir ölçü əlavə edib xy müstəvisindən kənarda düşünə bilərik. X ilə, y ilə və ya hər ikisi ilə inteqrasiya edə bilərik.

Və ya bir əyri müəyyən edə bilərdik

CC

ki, xy müstəvisində gəzir və inteqrasiya olunur

f(x,y)f(x,y)

yalnız bu əyri üzərində olan nöqtələrdə.

Bu "xətt ayrılmazlığı" ilə bu əyri - bir xətt, bir yol və ya bir əyri - xy müstəvisinə yerləşdirmisiniz. Həm də bir dairə və ya bir kvadrat kimi bağlana bilər - vacibdir, izah edəcəyəm.

Yəni yuxarıdakı bu nümunədəki əyri qapalı əyrilik deyil. Və inteqralı yaza bilərsiniz

Cf(s)ds\displaystyle\int_C f(s) ds

Bu

CC

Burada inteqrasiya etdiyiniz sahəyə aiddir. Bu xüsusiyyətin təpələri və dərələri arasında külək olan əyridir.

Əvəzinə yazsaydınız

Cf(s)ds\displaystyle\oint_C f(s) ds

Dairənin istifadəsi əyrinizin olduğunu göstərir

CC

qapalı bir döngə, xətt və ya yoldur. Həyata keçirdiyiniz inteqrasiya qapalı bir nəzarət döngəsində baş verir.

Qapalı bir döngə göstərmək oxucuya vacib bir şey deyir. Müəyyən hallarda, qapalı bir nəzarət loopu ətrafında inteqrasiya vacib nəticələrə səbəb olur. Məsələn, analizin fundamental teoremindən intervalın son nöqtələrində antiderivativi qiymətləndirərək müəyyən bir inteqral tapa biləcəyinizi artıq bilirsiniz. Bəs ara yalnız x oxunda deyilsə nə olacaq? Aralıq "sona çatma nöqtələri ... həqiqətən eyni nöqtələr olması üçün" öz-özünə yuvarlandı "nə olar? (Təhlilin fundamental teoremi bu barədə nə deyəcək ?!)

Yaxşı olarsa

\oint

Bir simvol istifadə edilərsə və heç bir əyri və ya sahə verilmirsə, müəllif sizə başqa bir şey deyə bilər - ancaq çox dərin. Adətən bu kimi ifadə edilə bilər:

Fds=0\displaystyle\oint F ds = 0

.

Burada müəllif sizə hansı əyrinin belə vacib olmadığını söyləyir

CC

İstifadə edirsiniz. F nə olursa olsun, bu həmişə hər qapalı əyriyə aiddir. Bu fikir - qapalı döngələr üçün bəzi gülünc dərəcədə inanılmaz nəticələr verir. (Hansı aşağıda müzakirə edəcəyəm.)

Əlavə təsvir üçün:

Radius 1 və hündürlüyü 1 açıq olan bir silindrini sonunda başlanğıcda oturduğunu düşünün. Silindrin səthini tapa bilərsiniz? Sadə həndəsə.

Ancaq bunu hesablamada bir funksiya kimi düşünə bilərsiniz

f(x,y)=1f(x,y) = 1

. Və bunu müəyyənləşdirilmiş konturla birləşdirmək istəyirsən

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1

.

Kontur inteqrasiya simvolu ilə əlaqə qurmadığı bu inteqrasiyanı birbaşa qiymətləndirməyin yolları var. Simvolun məqsədi nə etdiyinizi daha dəqiq bir şəkildə izah etmək və qapalı bir yolu keçməkdir - hər bir inteqrasiyanın həlli mexanizmlərini deyil. (Real həyatda bir çox kontur inteqrasiyası kompüter olmadan mümkün olmaya bilər. Etdiyiniz iş daha vacibdir. Təəccüblüdür ki, Calc III inteqralları testlərdə "sehrli" işləyir. ...)

İkiqat kontur inteqralı ümumi konsepsiyada çox oxşardır. Ancaq konturun özünə inteqrasiya etmək əvəzinə, konturun müəyyən etdiyi sahəyə inteqrasiya edirsiniz. (Özünüzü yoxlayın: Hər bir mənasız, öz-özünə kəsişməyən qapalı yol bir sahə müəyyənləşdirir.) Yuxarıdakı bu silindr nümunəsinə qayıdaraq, bu silindrin həcmini təyin edərkən bu inteqralı ikiqat konturla düşünə bilərsiniz.

Bu anlayışların hamısı bir-birinə həqiqətən təəccüblü nəticələrə səbəb olur: klassik elektromaqnit nəzəriyyəsinin demək olar ki, hamısı onlarla təsvir edilə bilər!

Məsələn, Gaussın maqnetizm qanununa nəzər yetirin:

SBdA=0\bigcirc\kern-1.45em \displaystyle\iint_S B \cdot dA = 0

harada

SS

qapalı bir sahədir və

dAdA

bir fərq üçündür

SS

(Əsasən,

SS

kiçik sahələrin səthidir,

dAdA

).So,bytheuseoftheoperator,wereintegratingtheamountofamagneticfieldpenetratingasurfacearea(i.e.flux).(Theclosedpropertymeansthatthesurfacehasaclearlydefinedexteriorandinterior.Example:asphere.)). So, by the use of the \cdot operator, we're integrating the amount of a magnetic field penetrating a surface area (i.e. flux). (The “closed” property means that the surface has a clearly defined exterior and interior. Example: a sphere.)

Bu o deməkdir ki, qapalı bir səthdən keçən maqnit axınının ümumi miqdarı həmişə sıfırdır. Bir maqnit sahəsi qapalı bir səth ilə müəyyən edilmiş boşluğa daxil olduqda, eyni maqnit sahəsi axını eyni səthdə fərqli bir yerdən geri çəkilməlidir. Xalis maqnit axını sıfır olmalıdır.

Gülməli dərəcədə böyük bir şeydir. Niyə maqnetizm belə gözəl sadə hesablama tənliyi ilə təsvir olunmalıdır?

Ancaq gözləyin, daha çox şey var! Elektrik sahəsi üçün çox oxşar bir qanun var, Gauss qanunu

EE

. Yəni bir elektrik səthindən elektrik sahəsinin axması səthin müəyyən etdiyi həcmdə (sabitlə bölünür) daxil olan elektrik yükünün miqdarına bərabərdir.

Və daha çox var! Sonra vahid bir kontur inteqralını təyin edə bilərsiniz

EE

cüt kontur inteqralına bərabərdir

BB

. Bəşəriyyətin layiq olmadığı sehrli səbəblərə görə, Faraday'ın induksiya qanunu alırsınız ...

Bu fikirlərdən yavaş-yavaş bəzi çox inkişaf etmiş şeylər düzəldə bilərsiniz. Riyaziyyata keçərkən kontur inteqrallarının inanılmaz dərəcədə güclü vasitə ola biləcəyini görəcəksiniz.


cavab 2:

Xət inteqral vs müntəzəm inteqral: Bir xətt inteqralı funksiyanın daha yüksək ölçülü məkanda yerləşən bir əyri boyunca inteqrasiya olunduğu və ya qiymətləndirildiyi bir ayrılmazdır. Buna görə də buna yol ayrılmaz deyilir. Sadə inteqralı bilirik, həndəsi mənzərədə sahəni tapdığımız həndəsi mənzərədə, xətti inteqrasiyasına bənzər 2D sahəsindəki bir əyri altında, fiziki baxımdan daha yüksək ölçüdə (2-dən çox) olan bir əyri altında bir sahə tapırıq. ümumi iş həm xəttdə, həm də normal inteqralda aparılır, ancaq işlə iş arasındakı fərq yolda və ya əyridə qiymətləndirilir. Daha yaxşı başa düşmək üçün bu iki bağlantıya keçin:


cavab 3:

İnteqralın ətrafı, inteqrasiya yolunun bağlandığı deməkdir. Qapalı bir yol ətrafında ayrılma sıfırdır. Məsələn, bir bədənə güc tətbiq etdikdə və müəyyən bir məsafəni qət etdiyinizdə işə baxın. İndi kitabın düşdüyü zaman bir cazibə sahəsinin gördüyü işi nəzərə al və indi yıxıldıqda götürsən, bütün potensial cazibə qüvvəsini itirdi, ancaq səni eyni yerə yığdıqda yenə bu potensiala sahib oldun, buna görə bu qapalı yolun ətrafındakı ümumi iş və ya şəbəkə sıfır idi və sonra yenidən tərtib edildi, nəticədə davamlı bir dövr və şəbəkə sıfır oldu. Bu qapalı inteqralın arxasındakı hissdir